การพิสูจน์สูตรของอาร์คิมิดีสสำหรับพื้นที่และปริมาตรได้กำหนดมาตรฐานสำหรับการรักษาขีด จำกัด อย่างเข้มงวดจนถึงยุคปัจจุบัน แต่วิธีที่เขาค้นพบผลลัพธ์เหล่านี้ยังคงเป็นปริศนาจนถึงปี 1906 เมื่อมีการค้นพบสำเนาของบทความที่หายไปของเขาThe Methodถูกค้นพบในคอนสแตนติโนเปิล (ปัจจุบันคืออิสตันบูลประเทศตุรกี)
ปรากฎว่าอาร์คิมีดีสใช้วิธีการที่รู้จักกันในภายหลังว่าหลักการของคาวาเลียรีซึ่งเกี่ยวข้องกับการหั่นของแข็ง (ซึ่งจะต้องเปรียบเทียบปริมาตร) กับตระกูลของเครื่องบินคู่ขนาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าแต่ละระนาบในครอบครัวตัดของแข็งสองชิ้นออกเป็นส่วนตัดขวางของพื้นที่เท่ากันของแข็งทั้งสองจะต้องมีปริมาตรเท่ากัน ( ดูรูป) เราสามารถคิดว่าของแข็งเป็นผลรวมของส่วนดังกล่าวเรียกว่าสิ่งที่แบ่งแยกไม่ได้ จริง ๆ แล้วอาร์คิมิดีสอธิบายถึงหลักการนี้ไม่เพียง แต่เปรียบเทียบส่วนที่เกี่ยวข้องในพื้นที่เท่านั้น แต่ยัง "จัดสมดุล" ตามกฎของคันโยกด้วย
แนวคิดของการหั่นโดยเครื่องบินขนานถูกค้นพบในประเทศจีนและมีการพิสูจน์ที่ง่ายกว่าว่าปริมาตรของทรงกลมเป็นสองในสามของปริมาตรของทรงกระบอกล้อมรอบโดยใช้พื้นที่เพียงอย่างเดียวได้รับจาก Liu Hui ในโฆษณา 263 ข้อพิสูจน์ขั้นสุดท้ายพร้อม บรรทัดเหล่านี้ได้รับจากนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Bonaventura Cavalieri ในGeometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635;“ วิธีการบางอย่างสำหรับการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตใหม่ของสิ่งที่แยกไม่ได้ต่อเนื่อง”) Cavalieri สังเกตว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อซีกโลกและทรงกระบอกล้อมรอบถูกตัดโดยครอบครัวของเครื่องบินขนานกับฐานของทรงกระบอก: ส่วนรูปทรงดิสก์แต่ละส่วนของทรงกลมมีพื้นที่เดียวกันกับส่วนวงแหวนที่สอดคล้องกันของส่วนเสริมของกรวยใน กระบอกสูบ ( ดูรูป ). สูตรสำหรับปริมาตรของทรงกลมจะตามมาทันทีจากทฤษฎีบทของ Eudoxus ว่าปริมาตรของกรวยเป็นหนึ่งในสามของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีเส้นรอบวง
