รูปทรงเรขาคณิตที่ตามหลัง Pythagoras (ค. 580 – c. 500 bc) ได้แบ่งปันสัญชาตญาณที่ไม่ชัดเจนว่าความยาวสองส่วนใด ๆ นั้น“ พอกันได้” (นั่นคือสามารถวัดได้) โดยการคูณจำนวนเต็มของหน่วยทั่วไป กล่าวอีกนัยหนึ่งพวกเขาเชื่อว่าจำนวนเต็ม (หรือการนับ) และอัตราส่วน (จำนวนตรรกยะหรือเศษส่วน) เพียงพอที่จะอธิบายปริมาณใด ๆ เรขาคณิตจึงควบคู่ไปกับความเชื่อของพีทาโกรัสได้อย่างง่ายดายซึ่งหลักการที่สำคัญที่สุดคือความเป็นจริงนั้นเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์และอิงจากจำนวนเต็ม ความเกี่ยวข้องพิเศษคือการจัดการอัตราส่วนซึ่งในตอนแรกเกิดขึ้นตามกฎที่ยืนยันโดยเลขคณิต การค้นพบส่วนเกิน (รากที่สองของจำนวนที่ไม่ใช่กำลังสอง) จึงทำลายชาวพีทาโกรัส: ไม่สามารถa : b =c : d (โดยที่aและbพูดเป็นจำนวนเฉพาะ) บอกเป็นนัยว่าa = n cหรือb = n dโดยที่nคือจำนวนเต็ม ตามตำนานกล่าวว่าผู้ค้นพบพีทาโกรัสในปริมาณที่ไม่สามารถคาดเดาได้ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อจำนวนไม่ลงตัวถูกพี่น้องของเขาสังหาร แต่มันยากที่จะเก็บเป็นความลับทางวิทยาศาสตร์
ชาวกรีกโบราณไม่มีพีชคณิตหรือเลขฮินดู - อารบิก เรขาคณิตของกรีกมีพื้นฐานมาจากเหตุผลเชิงตรรกะที่เกี่ยวข้องกับแผนภาพนามธรรม ดังนั้นการค้นพบสิ่งที่ไม่เหมือนกันจึงเป็นการรบกวนความคิดของพีทาโกรัสที่มีต่อโลก มันนำไปสู่ทางตันในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นทางตันที่ยังคงอยู่จนกระทั่งเวลาของเพลโตเรขาคณิตได้กำหนดนิยามของสัดส่วน (อัตราส่วน) ที่คิดว่าไม่เท่ากัน นักคณิตศาสตร์หลักที่เกี่ยวข้องคือ Athenian Theaetetus (ประมาณ ค.ศ. 417–369 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ซึ่งเพลโตได้อุทิศบทสนทนาทั้งหมดและ Eudoxus แห่ง Cnidus ที่ยิ่งใหญ่ (ประมาณ ค.ศ. 390 – ค.ศ. 340 BC) ซึ่งการปฏิบัติต่อสิ่งที่ไม่พึงปรารถนายังคงมีชีวิตอยู่เมื่อเล่ม V ของ Euclid 's องค์ประกอบ
Euclid ให้ข้อพิสูจน์ง่ายๆดังต่อไปนี้ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 1 หน่วยตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะต้องมีdทแยงมุมที่ตรงตามสมการd 2 = 12 + 12 = 2 ให้มันเป็นไปตามความคาดหวังของพีทาโกรัสว่าเส้นทแยงมุมสามารถเป็นได้ แสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนกล่าวว่าpและqและpและqเป็นจำนวนเฉพาะโดยมีp > q หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคืออัตราส่วนลดลงเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด ดังนั้นp 2 / q 2 = 2 แล้วp 2 = 2 q 2 ดังนั้นpจะต้องเป็นเลขคู่พูด 2 Rการใส่ 2 rสำหรับpในสมการสุดท้ายและทำให้ง่ายขึ้นเราจะได้q 2 = 2 r 2 โดยที่qจะต้องเป็นคู่ด้วยซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าpและqไม่มีปัจจัยร่วมอื่นใดนอกจากเอกภาพ ดังนั้นจึงไม่มีอัตราส่วนของจำนวนเต็มนั่นคือไม่มี "จำนวนตรรกยะ" ตามคำศัพท์ภาษากรีก - สามารถแสดงรากที่สองของ 2 ได้ความยาวที่ทำให้กำลังสองไม่เท่ากับจำนวนกำลังสอง (เช่นรากที่สองของ√ 2 , รากที่สองของ√ 3, รากที่สองของ√ 5, รากที่สองของ√ 6, …) เรียกว่า“ จำนวนอตรรกยะ”
