Metalogicการศึกษาและวิเคราะห์ความหมาย (ความสัมพันธ์ระหว่างนิพจน์และความหมาย) และไวยากรณ์ (ความสัมพันธ์ระหว่างนิพจน์) ของภาษาที่เป็นทางการและระบบที่เป็นทางการ มันเกี่ยวข้องกับ แต่ไม่รวมถึงการรักษาภาษาธรรมชาติอย่างเป็นทางการ (สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์และความหมายของภาษาธรรมชาติโปรดดูภาษาศาสตร์และความหมาย)
ธรรมชาติต้นกำเนิดและอิทธิพลของโลหะวิทยา
ไวยากรณ์และความหมาย
ภาษาที่เป็นทางการมักจะต้องมีชุดของกฎการสร้างกล่าวคือข้อกำหนดที่สมบูรณ์ของประเภทของนิพจน์ที่จะนับเป็นสูตรที่มีรูปแบบ (ประโยคหรือนิพจน์ที่มีความหมาย) ใช้ได้ในเชิงกลไกในแง่ที่เครื่องสามารถตรวจสอบว่าผู้สมัคร เป็นไปตามข้อกำหนด ข้อกำหนดนี้มักจะประกอบด้วยสามส่วน: (1) รายการของสัญลักษณ์ดั้งเดิม (หน่วยพื้นฐาน) ที่กำหนดโดยกลไก (2) การรวมกันของสัญลักษณ์เหล่านี้โดยแยกออกจากกลไกโดยสร้างประโยคแบบง่าย (อะตอม) และ (3) ชุดของ ประโยคอุปนัย - อุปนัยเช่นเดียวกับที่พวกเขากำหนดว่าการรวมกันตามธรรมชาติของประโยคที่กำหนดซึ่งเกิดจากการเชื่อมต่อเชิงตรรกะเช่นการแยกส่วน“ หรือ” ซึ่งเป็นสัญลักษณ์“ ∨”; “ ไม่” เป็นสัญลักษณ์“ ∼”; และ "สำหรับทุกคน" สัญลักษณ์ "(∀)" เป็นประโยคอีกครั้ง [“ (∀)” เรียกว่าตัวระบุปริมาณเช่นเดียวกับ“ มีบางส่วน” ที่เป็นสัญลักษณ์“ (∃)”] เนื่องจากข้อกำหนดเหล่านี้เกี่ยวข้องเฉพาะกับสัญลักษณ์และชุดค่าผสมเท่านั้นและไม่เกี่ยวข้องกับความหมายจึงเกี่ยวข้องกับไวยากรณ์ของภาษาเท่านั้น
การตีความภาษาที่เป็นทางการถูกกำหนดโดยการกำหนดรูปแบบการตีความประโยคอะตอมของภาษาที่เกี่ยวข้องกับโดเมนของอ็อบเจ็กต์กล่าวคือโดยกำหนดว่าอ็อบเจ็กต์ใดของโดเมนถูกแสดงโดยค่าคงที่ของภาษาและความสัมพันธ์และฟังก์ชันใด แสดงโดยตัวอักษรเพรดิเคตและสัญลักษณ์ฟังก์ชัน ดังนั้นค่าความจริง (ไม่ว่าจะเป็น "จริง" หรือ "เท็จ") ของทุกประโยคจึงถูกกำหนดตามการตีความมาตรฐานของการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ ตัวอย่างเช่นp · qเป็นจริงถ้าpและq เท่านั้นเป็นความจริง (ในที่นี้จุดหมายถึงการรวม "และ" ไม่ใช่การคูณ "คูณ") ดังนั้นเมื่อมีการตีความภาษาที่เป็นทางการใด ๆ จึงได้แนวคิดที่เป็นทางการของความจริง ความจริงความหมายและการแสดงเป็นแนวคิดเชิงความหมาย
หากนอกจากนี้มีการนำระบบที่เป็นทางการในภาษาที่เป็นทางการมาใช้แนวคิดวากยสัมพันธ์บางอย่างก็เกิดขึ้นนั่นคือสัจพจน์กฎการอนุมานและทฤษฎีบท บางประโยคแยกออกมาเป็นสัจพจน์ นี่คือทฤษฎีบท (พื้นฐาน) กฎการอนุมานแต่ละข้อเป็นประโยคอุปนัยโดยระบุว่าถ้าประโยคบางประโยคเป็นทฤษฎีบทประโยคอื่นที่เกี่ยวข้องกับพวกเขาในทางที่เหมาะสมก็เป็นทฤษฎีบทเช่นกัน ถ้าpและ“ not- pหรือq ” (∼ p ∨ q ) เป็นทฤษฎีบทตัวอย่างเช่นqคือทฤษฎีบท โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทเป็นทั้งสัจพจน์หรือข้อสรุปของกฎการอนุมานซึ่งมีสถานที่เป็นทฤษฎีบท
ในปีพ. ศ. 2474 Kurt Gödelได้ค้นพบพื้นฐานว่าในระบบทางการส่วนใหญ่ที่น่าสนใจ (หรือมีนัยสำคัญ) ไม่ใช่ประโยคที่แท้จริงทั้งหมดที่เป็นทฤษฎีบท จากการค้นพบนี้ว่าความหมายไม่สามารถลดลงเป็นไวยากรณ์ได้ ดังนั้นไวยากรณ์ซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการพิสูจน์มักจะต้องแตกต่างจากความหมายซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีแบบจำลอง พูดอย่างคร่าวๆวากยสัมพันธ์ตามแนวคิดในปรัชญาคณิตศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีจำนวนและความหมายเป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีเซตซึ่งเกี่ยวข้องกับธรรมชาติและความสัมพันธ์ของมวลรวม
ในอดีตเมื่อตรรกะและระบบสัจพจน์มีความแน่นอนมากขึ้นเรื่อย ๆ จึงเกิดขึ้นเพื่อตอบสนองต่อความปรารถนาที่จะมีความชัดเจนมากขึ้นมีแนวโน้มที่จะให้ความสำคัญกับคุณสมบัติทางวากยสัมพันธ์ของภาษาที่ใช้มากกว่าที่จะมุ่งเน้นเฉพาะความหมายที่เข้าใจง่าย ด้วยวิธีนี้ตรรกะวิธีเชิงสัจพจน์ (เช่นที่ใช้ในรูปทรงเรขาคณิต) และเซมิโอติก (วิทยาศาสตร์ทั่วไปของสัญญาณ) มาบรรจบกันเป็นโลหะวิทยา
วิธีการตามความเป็นจริง
ระบบสัจพจน์ที่รู้จักกันดีที่สุดคือยุคลิดสำหรับเรขาคณิต ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับ Euclid ทุกทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวข้องกับเนื้อหาของแนวคิดที่มีความหมายและชุดของการยืนยันที่เป็นจริงหรือเชื่อ ความหมายของแนวคิดมักสามารถอธิบายหรือกำหนดได้ในแง่ของแนวคิดอื่น ๆ และในทำนองเดียวกันความจริงของการยืนยันหรือเหตุผลที่ทำให้เชื่อโดยปกติสามารถชี้แจงได้โดยระบุว่าสามารถอนุมานได้จากการยืนยันอื่น ๆ ที่ยอมรับแล้ว วิธีการเชิงสัจพจน์ดำเนินไปตามลำดับขั้นตอนโดยเริ่มต้นด้วยชุดของแนวคิดและข้อเสนอดั้งเดิมจากนั้นกำหนดหรืออนุมานแนวคิดและข้อเสนออื่น ๆ ทั้งหมดในทฤษฎีจากแนวคิดเหล่านี้
การตระหนักรู้ซึ่งเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 ว่ามีรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างกันทำให้เกิดความปรารถนาที่จะแยกคณิตศาสตร์นามธรรมออกจากสัญชาตญาณเชิงพื้นที่ ด้วยเหตุนี้สัจพจน์ที่ซ่อนอยู่มากมายจึงถูกค้นพบในเรขาคณิตของยุคลิด การค้นพบเหล่านี้จัดเป็นระบบสัจพจน์ที่เข้มงวดยิ่งขึ้นโดย David Hilbert ในGrundlagen der Geometrie (1899; The Foundations of Geometry ) อย่างไรก็ตามในระบบนี้และระบบที่เกี่ยวข้องการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลและคุณสมบัติของมันถูกนำมาใช้เพื่อให้ได้รับอนุญาตและยังคงเป็นนัย ถ้าตรรกะที่เกี่ยวข้องถูกนำมาใช้เป็นของแคลคูลัสเพรดิเคตนักตรรกศาสตร์สามารถมาถึงระบบที่เป็นทางการดังที่กล่าวไว้ข้างต้นได้
เมื่อได้ระบบที่เป็นทางการดังกล่าวแล้วจะสามารถเปลี่ยนปัญหาเชิงความหมายบางอย่างให้เป็นปัญหาวากยสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่นได้รับการยืนยันว่ารูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะต้องเป็นระบบที่สอดคล้องกันในตัวเองเนื่องจากมีแบบจำลอง (หรือการตีความ) ในรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งจะมีแบบจำลองในทฤษฎีจำนวนจริง จากนั้นอาจถูกถามว่าเป็นที่ทราบได้อย่างไรว่าทฤษฎีของจำนวนจริงมีความสอดคล้องกันในแง่ที่ว่าไม่มีความขัดแย้งใด ๆ เกิดขึ้นภายในมัน เห็นได้ชัดว่าการสร้างแบบจำลองสามารถสร้างความสอดคล้องสัมพันธ์กันเท่านั้นและต้องหยุดอยู่ที่ไหนสักแห่ง เมื่อมาถึงระบบที่เป็นทางการ (พูดเป็นจำนวนจริง) อย่างไรก็ตามปัญหาความสอดคล้องนั้นมีจุดโฟกัสที่คมชัดกว่าของปัญหาวากยสัมพันธ์:คือการพิจารณาการพิสูจน์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ในรูปของวากยสัมพันธ์) และถามว่ามี (พูด) 0 = 1 เป็นประโยคสุดท้ายหรือไม่
อีกตัวอย่างหนึ่งคำถามว่าระบบมีความเป็นหมวดหมู่หรือไม่นั่นคือกำหนดว่าโดยพื้นฐานแล้วการตีความที่ไม่ซ้ำกันหรือไม่ในแง่ที่การตีความสองแบบเป็นไอโซมอร์ฟิกหรือไม่ - อาจมีการสำรวจ คำถามเชิงความหมายนี้สามารถแทนที่ด้วยคำถามเชิงวากยสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องได้ในระดับหนึ่งนั่นคือความสมบูรณ์: มีอยู่ในระบบประโยคใดที่มีค่าความจริงที่แน่นอนในการตีความที่ตั้งใจไว้หรือไม่โดยที่ประโยคนั้นหรือการปฏิเสธของประโยคนั้นไม่เป็นทฤษฎีบท แม้ว่าตอนนี้จะทราบกันดีว่าแนวคิดเชิงความหมายและวากยสัมพันธ์แตกต่างกัน แต่ข้อกำหนดที่คลุมเครือว่าระบบต้อง“ เพียงพอ” นั้นได้รับการชี้แจงโดยทั้งสองแนวคิด การศึกษาคำถามเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์ที่เฉียบคมเช่นความสอดคล้องและความสมบูรณ์ซึ่งฮิลเบิร์ตเน้นย้ำมีชื่อว่า "อภิคณิตศาสตร์" (หรือ "ทฤษฎีพิสูจน์") โดยเขาเมื่อประมาณปี 1920
